Geometrie - Numarul Pi

  Matematicienii noteaza raportul dintre circumferinta unui cerc si diametrul sau prin litera greceasca Pi, care reprezinta initiala cuvintelor din aceeasi limba “perimetros" (perimetru) si “periferia" (periferie), folosite de Arhimede in lucrarea sa despre cerc. Dar nu intotdeauna matematicienii au intrebuintat litera Pi pentru a reprezenta raportul dintre circumferinta si diametrul cercului. El a fost introdus abia in secolul al XVIII-lea, si atunci nu de catre toti matematicienii, care pentru a marca acest raport foloseau litera “p". Litera greceasca Pi a fost folosita in geometrie pentru prima data de Isaac Barrow (1630-1677) in lucrarea “Lectii tinute in scoala publica a Academiei din Cambridge" de W. Oughtred in “Matematica recreativa", pentru a nota insa lungimea cercului. Abia spre sfirsitul secolului al XVII-lea, cind rapoartele au fost asimilate cu numerele, a inceput sa fie folosit Pi in sensul de astazi. Cel dintii matematician care l-a folosit pe Pi pentru a-l nota pe 3,14… a fost W. Jones (1675-1749), in anul 1706, apoi Cristian Goldbach (1690-1764), in anul 1742. Celebrul matematician elvetian Leonhard Euler (1707-1783), membru al Academiei de Stiinte din Petersburg, mai intrebuinta prin 1734 litera “p" pentru a nota raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau, apoi citiva ani mai tirziu litera “c", pentru ca in lucrarea “Introducere in analiza infinitilor", publicata in 1748, sa adopte definitiv litera greceasca Pi, si, datorita lui, acest simbol a intrat definitiv in uzul general al matematicienilor.
   Pi, vechi de mii de ani
   Noi cunoastem azi drept valoare pentru Pi numarul 3,141.592.653…, dar, in decursul istoriei, valoarea lui nu a fost intotdeauna aceeasi, ci a variat fata de acest numar, in functie de epoca, zona geografica si popoare. Vechile valori ale lui Pi au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale de incercari. Astfel, se lua pur si simplu o sfoara si se inconjura cu ea un cilindru, dupa care se masurau lungimea ei si diametrul cercului. Ceea ce iesea din aceasta impartire era valoarea lui Pi, desi in acea vreme, asa cum am aratat, acest raport nu se nota cu aceasta litera. Cea mai veche valoare a raportului dintre circumferinta cercului si diametrul sau a dat-o scribul egiptean Ahmes in jurul anului 1.800 i. Chr., in “Manualul lui Ahmes", aflat pe papirusul Rhind. Ea este de 3,1604, mai mare decit valoarea reala cu aproximativ 0,0188, rezultat care este insa mult mai apropiat de valoarea sa reala, fata de rezultatul obtinut mult mai tirziu de Arhimede.
   Pi-ul la egipteni, evrei, greci si romani
   Egiptenii mai obtineau valoarea lui Pi folosind raportul dintre perimetrul patratului de la baza piramidei lui Keops si dublul inaltimii acestui monument, rezultatul fiind de 3,1415982. inca din antichitate, matematicienii au incercat sa rezolve asa-numita problema a cvadraturii cercului, adica sa construiasca un patrat care sa aiba aria egala cu a unui cerc dat, folosind numai compasul si rigla, dar pentru aceasta le trebuia valoarea exacta a lui Pi. Prin descifrarea unor tabele scrise pe tablite de lut, descoperite in 1950, de M. Bruius, la Susa, in Iran, rezulta ca, in urma cu 2.000 de ani i. Chr., babilonienii calculasera pentru Pi valoarea de 3,125, cu 0,0166 mai mica decit valoarea reala. La vechii caldeeni, valoarea lui Pi era egala cu 3, pentru ca ei considerau ca raza cercului se poate inscrie de 6 ori pe circumferinta cercului.
   Evreii, care au avut relatii culturale si politice foarte strinse cu asiro-caldeenii. il considerau pe Pi egal tot cu 3. in “Biblie" se relateaza ca in templul lui Solomon, ridicat in secolul al XI-lea i. Chr, era un mare bazin de arama, “de forma rotunda, avind zece coti de la o margine la alta si o linie de 30 de coti ii masura circumferinta". Din descrierea acestui bazin, facut de arhitectul Hiram de Tyr, la cererea lui Solomon, rezulta ca Pi era egal cu 3, asa cum rezulta si din “Talmud", o culegere de traditii rabinice posterioare “Bibliei", in care se afirma ca “ceea ce are un inconjur de trei palme e lat de o palma". Aceeasi valoare de 3 o da si chinezul Ceu-pei in lucrarea sa “Cartea sfinta a socotitului", aparuta in secolul III i. Chr.
   Prin secolele VIII-VII i. Chr., geometrii greci aveau doua idei fundamentale in legatura cu cvadratura cercului: prima – ca cercul se poate asimila cu un poligon regulat cu un numar infinit de laturi si, a doua – ca aria cercului este cuprinsa intre cea a unui poligon regulat inscris si cea a unui poligon regulat circumscris, avind acelasi numar infinit de laturi. Ei credeau ca problema cvadraturii cercului se poate rezolva prin metoda gramica, adica prin trasarea unor curbe mai complicate decit cercul. Printre grecii care au cautat sa rezolve cvadratura cercului si sa afle valoarea lui Pi se numara Hipocrat din Chios (secolul V i. Chr.), care s-a folosit de ariile limitate de doua arce de cerc avind aceleasi extremitati si a caror convexitate e situata de aceeasi parte, figura geometrica plana numita “lunula". Dinostrat (sec. IV. i. Chr.), fostul elev al lui Platon, s-a folosit de o curba ajutatoare, cunoscuta azi in geometrie de “cvadricea lui Dinostrat", iar Arhimede din Siracuza (287-212 i. Chr.), in lucrarea sa “Despre masurarea cercului", a gasit valoarea lui Pi ca fiind cuprinsa intre 3,141606 si 3,141590, valoarea cea mai apropiata de cea reala fiind 3,1416, care este si astazi folosita de catre matematicieni. Valori apropiate de cele obtinute de Arhimede au gasit si Claudiu Ptolomeu si Heron din Alexandria. Cel dintii grec care a popularizat problema cvadraturii cercului, ridiculizind-o, a fost scriitorul Aristofan (sec. V. i. Chr.), in comedia sa “Pasarile").
   In general romanii au folosit pentru Pi valoarea data de Arhimede, in schimb indienii foloseau pentru raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau valoarea de 3,0625. La inceputul Evului Mediu, matematicianul arab Mahomed ben Musa (sec. IX), in lucrarea sa “Algebra", dadea pentru Pi aceeasi valoare ca si Arhimede, afirmind ca “Procedeul cel mai bun este sa inmultim diametrul cu 3 1/7. Acesta este mijlocul cel mai rapid si cel mai usor. Mai mult stie Dumnezeu!". in secolul VI d. Chr., renumitul matematician indian Aria-Bahata a dat pentru Pi valoarea de 3,1416, plecind de la un hexagon inscris intr-un cerc, caruia i-a dublat succesiv laturile pina la un poligon cu 384 de laturi. Apoi, considerind ca perimetrul unui poligon cu un numar de laturi se apropie de lungimea circumferintei in care se inscrie acel poligon, a calculat acest perimetru, pe care l-a impartit apoi la diametrul sau.
   Un rezultat surprinzator de exact
   Un alt matematician indian, Bhaskara inteleptul, care a trait in secolul al XII-lea, a dat pentru Pi valoarea de 3,1416, folosind acelasi procedeu de calcul aplicat de Arhimede. Marele invatat uzbec Djemsid-ben Masud ed-Din al-Casi, care a trait in jurul anului 1400, primul director al observatorului astronomic de linga Samarkand, a scris o carte intitulata “invatatura despre cerc" in care a calculat raportul dintre lungimea circumferintei si raza, servindu-se de un poligon regulat cu 800.335.168 de laturi, obtinind pentru Pi urmatoarea valoare, cu 16 zecimale, 3,141.592.653.589.793.2… rezultat surprinzator de exact.
   Matematicianul olandez Ludolph van Keulen (1540-1610) din Leyda, a obtinut, in 1596, valoarea lui Pi cu 35 de zecimale, numar care a fost gravat pe mormintul lui, germanii numind si astazi simbolul Pi numar ludolphian.

    
   SURSA 02
 
   Numarul Pi este o constanta matematica a carei valoare este egala cu raportul dintre circumferinta si diametrul oricarui cerc intr-un spatiu euclidian, sau cu raportul dintre aria unui cerc si patratul razei sale. Pi este una dintre cele mai importante constante matematice, fiind continuta in multe formule de matematica, fizica, inginerie. Numarul pi este un numar irational, a carui valoare este egala, in varianta scurta, cu 3,14.
   Numarul Pi – denumire si studiere
   Originea literei grecesti “pi”: prima litera a cuvintelor grecesti “perifereia” (periferie) si “perimetros” (perimetru) - in legatura cu formula de calcul a circumferintei (sau a perimetrului) unui cerc. Alt nume pentru numarul pi: “Constanta lui Arhimede“, deoarece Arhimede a fost primul care a incercat sa calculeze valoarea lui pi cu exactitate (a observat ca aceasta marime poate fi limitata superior si inferior inscriind cercurile in poligoane regulate si calculand perimetrul poligoanelor exterioare si respectiv inferioare). Modurile de studiere si incercare de calculare a numarului pi urmeaza dezvoltarea matematicii in ansamblu si o impart in 3 perioade: veche (in care pi era studiat geometric), clasica (pi era calculat folosind analiza matematica) si moderna (cu ajutorul calculatoarelor numerice). Proprietati ale numarului pi * este irational (i.e. nu poate fi scris ca raport a doua numere intregi) – irationalitatea sa a fost demostrata complet abia in secolul 18.* este transcendent (i.e. nu exista niciun polinom cu coeficienti rationali care sa-l aiba pe pi ca radacina), de unde rezulta urmatoarea proprietate:* nu este construibil geometric (i.e. nu se poate construi cu rigla si compasul un patrat cu aria egala cu cea a unui cerc dat – aceasta este o problema de geometrie veche si celebra, cunoscuta sub numele de “Cuadratura cercului“, care este o problema fara solutie).* are un numar infinit de zecimale care nu contin secvente ce se repeta; acest sir infinit de cifre a fascinat numerosi matematicieni, iar in ultimele secole s-au depus eforturi semnificative pentru a investiga proprietatile acestui numar; totusi, in ciuda muncii analitice si a calculelor realizate pe supercalculatoare care au calculat 10 mii de miliarde de cifre ale lui pi, nu s-a descoperit niciun sablon identificabil in cifrele gasite. Cifrele numarului pi sunt disponibile pe multe pagini web si exista programe software pentru calcularea lui pi cu miliarde de cifre precizie.Memorarea cifrelor numarului pi
   Chiar cu mult timp inainte ca valoarea lui pi sa fie evaluata de calculatoarele electronice, unii oameni au devenit obsedati memorarea unui numar record de cifre ale sale.
   Ultimul record inregistrat la memorarea cifrelor lui pi este de 67.890 de cifre si este detinut de un student chinez de 24 ani (Lu Chao), caruia i-au luat 24 de ore si 4 minute sa recite fara greseala pana la a 67.890-a cifra zecimala a lui pi.
   Exista mai multe moduri de memorare a numarului pi, iar cea mai cunoscuta metoda consta in folosirea de “pieme” (poeme pentru numarul pi) – poezii ce reprezinta numarul pi astfel incat lungimea fiecarui cuvant (in litere) reprezinta o cifra. Exemplu de piema in limba romana: “Asa e usor a scrie renumitul si utilul numar.” Pe langa pieme, exista si alte mnemotehnici pentru retinerea cifrelor numarului pi.

  
  SURSA 03
 
   π (adesea scris pi) este o constantă matematică a cărei valoare este raportul dintre circumferinţa şi diametrul oricărui cerc într-un spaţiu euclidian; este aceeaşi valoare ca şi raportul dintre aria unui cerc şi pătratul razei sale. Simbolul π a fost propus pentru prima oară de matematicianul galez William Jones în 1706. Valoarea constantei este egală aproximativ cu 3,14159 în notaţia zecimală obişnuită (vezi tabelul din dreapta pentru reprezentarea în alte baze). π este una dintre cele mai importante constante din matematică şi fizică: numeroase formule din matematică, inginerie şi alte ştiinţe implică π.
   π este un număr iraţional, adică valoarea sa nu poate fi exprimată exact sub formă de fracţie m/n, cu m şi n întregi. De aceea, reprezentarea sa zecimală nu se termină şi nu începe să se repete. Numărul este şi trancendent, ceea ce înseamnă, printre altele, că nu există un şir finit de operaţii algebrice cu numere întregi (puteri, extrageri de radicali, sume etc.) al căror rezultat să fie egal cu valoarea lui; demonstrarea acestui fapt a fost o realizare recentă în istoria matematicii şi un rezultat semnificativ al matematicienilor germani ai secolului al XIX-lea. De-a lungul istoriei matematicii, s-au depus eforturi semnificative de a determina π cu mai multă precizie şi de a-i înţelege natura; fascinaţia acestui număr a intrat şi în cultura non-matematică.Litera grecească π, adesea scrisă pi în unele texte, a fost adoptată de la cuvântul grecesc „περίμετρος” (în română perimetru), mai întâi de William Jones în 1707; notaţia a fost popularizată apoi de Leonhard Euler în 1737.

sursa:ipedia.ro