Algebra - Notiuni fundamentale

   Proportie. Proprietatea fundamentala a proportiei
- proportia este o egalitate a doua rapoarte;
- in orice proportieprodusul extremilor este egal cu produsul mezilor;
   Aflarea unui termen necunoscut al unei proportii
- un extrem = produsul mezilor “supra" celalalt extrem;
- un mez = produsul extremilor “supra" celalalt mez;
 

   Proportii derivate
- a/b = c/d => d/b = c/a
- a/b = c/d => a/c = b/d
- a/b = c/d => b/a = d/c
- a/b = c/d => af/bf = c/d
- a/b = c/d => a:f/b:f = c/d
- a/b = c/d => a•f/b = c•f/d
- a/b = c/d => a/b•f = c/d•f
- a/b = c/d => a/b:f = c/d:f
- a/b = c/d => a+b/b = c+d/d
- a/b = c/d => a-b/b = c-d/d
- a/b = c/d => a/a+b = c/c+d
- a/b = c/d => a/b-a = c/d-c
- a/b = c/d => a/b = a+c/b+d
- a/b = c/d => a/b = a-c/b-d

   Procente. Aflarea a p% dintr-un numar
- prin notatia p% se intelege p/100
- pentru aflarea a p% dintr-un numar dat se efectueaza p/100 din numarul respectiv adica p/100 inmultit cu numarul dat 

   Aflarea unui numar cand se cunoaste p% din el
- intrucat exista un numar necunoscut il vom nota cu x, obtinand p/100 din x=a, a fiind dat, rezulta x=a:p/100 

   Aflarea raportului procentual
- se numeste raport procentual raportul p/100
- pentru a afla cat la suta reprezinta numarul a din numarul b, ne folosim de relatia: a = p/100 •b sau a/b = p/100 → p = 100 •a/b

   Probabilitati
- se numeste probabilitatea realizarii unui eveniment (rezultatul unei experiente) raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului si numarul cazurilor posibile ale experientei
- probabilitatea unui eveniment se noteaza cu P(A)
- P(A) = numarul cazurilor favorabile evenimentului A / numarul cazurilor posibile ale experientei

   Proportionaliate directa
- intre doua multimi finite de numere se stabileste o proportionalitate directa daca se poate forma un sir de rapoarte egale, diferite de 0, astfel incat numaratorii rapoartelor sa fie elementele primei multimi si numitorii rapoartelor sa fie elementele celeilalte multimi
- intre {x, y, z} si {a, b, c} se stabileste o proportinalitate directa daca: x/a = y/b = z/c

   Proportionalitate inversa
- intre doua multimi finite de numere se stabileste o proportionalitate inversa, daca se poate forma un sir de rapoarte egale, diferite de 0, astfel incat multimea primilor factori ai produselor sa fie una din multimi, iar multimea celorlalti factori sa fie cealalta multime
- intre {x, y, z} si {a, b, c} se stbileste o proportionalitate inversa daca: x •a = y • b = z • c 

   Regula de trei simpla
- fiind date doua multimi intre care este stabilita o proportionalitate directa sau inversa, procedeul de aflare a unuia din elemente se numeste regula de trei simpla

   Adunarea si scaderea numerelor intregi. Desfacerea parantezelor
-la adunarea numerelor intregi apar trei cazuri:
1.ambele numere sunt intregi pozitive (deci naturale)→ suma este suma numerelor naturale a si b
2.ambele numere sunt intregi negative → suma este –(|a|+|b|)
3.un numar este intreg negativ si celalalt intreg pozitiv → suma este 0 daca: |a|=|b|. Daca |a|≠|b| efectuam operatie de scadere intre modulul mai mare si modulul mai mic, iar la rezultat se scrie semnul numarului care era modulul mai mare
- se defineste opusul numarului a ca fiind –a si opusul numarului – a ca fiind a
- la scaderea a doua numere intrgi se efectueaza operatie de adunare intre primul numar si opusul celui de-al doilea
- daca in fata unei paranteze este semnul “+" atunci se suprima paranteza si semnul “+" si se scrie expresia din paranteza neschimbata
- daca in fata unei paranteze este semnul “-“ atunci se suprima paranteza si semnul “-“ si se scrie expresia din paranteza schimband semnele

   Divizorii unui numar intreg
- un numar intreg a este divzibil cu un numar intreg b≠0, daca exista un numar intreg c astfel incat a=b • c
- notatie: a : b (a se divide cu b) si b|a (b divide a)

SURSA 02

   Multimea numerelor intregi. Multimi. Produs cartezian
-vom numi produs cartezian al multimilor A si B notat A×B, multimea perechilor ( a,b ), unde a є A si b є B
Relatiile “ <", “≤", “≥", “>" intre numerele rationale
- un numar rational a este mai mare decat un numar rational b, ceea ce se scrie a > b, daca exista c є Q astfel incat a = b+c 42367bzr93zvx3j
- pe axa numerelor, numarul rational maimmare se va afla la dreapta celui mai mic
- pentru a compara doua numere rationale se vor aduce la acelasi numitor si se vor compara numaratorii astfel obtinuti

   Puterea unui numar rational
- se va folosi notatia : a -ⁿ = 1/a ⁿ zv367b2493zvvx

   Ecuatii in Q
- se numeste ecuatie propozitia cu o variabila in care variabila trebuie sa verifice o egalitate
- se numeste solutie a ecuatiei un numar sau mai multe numere care puse in locul variabilei formeaza o propozitie adevarata
- forma generala a unei ecuatii de gradul I cu o necunoscuta este : ax + b = c, unde a, b, c є Q
- rezolvarea ecuatiei inseamna gasirea solutiilor : ax + b = c <=> ax = c ­ b <=> x = c ­ b/a , a ≠ 0

   Numere reale
- se numesc numere irationale acele numere care scrise zecimal au o infinitate de cifre in dreapta virgulei care nu se repeta periodic
- definim multimea numerelor reale ca fiind reuniunea dintre multimea Q a numerelor rationale si multimea numerelor irationale
reguli de calcul in R :
- a√b + c√b =( a+c )√b
- a√b – c√b = (a – c)√b
- √a ∙√b = √a ∙ b
- √a : √b = √a:b
- scoaterea factorilor de sub radical se efectueaza folosind √a2 =|a| => √a2∙b=|a|√b
- introducerea sub radical se efectueaza astfel :
1. a = √a2
2. a√b = √a2 ∙b
- se va rationaliza numitorul prin amplificarea fractiei a/√b = a√b /b
- pentru ridicarea la putere a unui numar real se va tine seama de (√a) n=√a n

   Calcularea mediilor
+ Media aritmetica a numerelor a, a1, a2 ,... an este : ma = a+a1+a2... an / n
+ Media aritmetica ponderata a numerelor a, a1, a2 ,... an avand ponderile p, p1, p2, ...pn este : m a p = a1 p1 + a2 p2 +...+an pn / p1+p2 +... +pn
+ Media geometrica (proportionala) a numerelor pozitive a1 si a2 este :
mg =√a1 ∙a2

   Calcul algebric
- doi termeni sunt asemenea daca au aceeasi parte literara. La litere identice corespunzand exponenti identici
- adunarea si scaderea se poate efectua numai intre termeni asemenea
- pentru a efectua inmultirea se tine seama de :
1. a ∙(b+c) = ab + ac
2.(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
formule de calcul prescurtat:
1.(a + b)2 = a2 +2ab + b2
2.(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
3.(a – b)(a + b) = a2 – b2
4.(a + b +c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
- pentru a rationaliza fractia a / b√c + d√e, se va amplifica cu b√c – d√e
- pentru a efectua impartirea se tine seama de : (a + b + c): d = a:d+b:d+c:d

   Descompunerea in factori
1. metode de descompunere :
scoaterea factorului comun:
a ∙ b + a ∙c = a ∙(b+c)
a ∙ b - a ∙c = a ∙(b - c)
2.restrangerea patratului unei sume de doi termeni:
a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
3. diferenta patratelor:
a² - b² = (a – b)(a+b)
4. alte metode:
c(a+b)+d(a+b)= (a+b)(c+d)
x² +x(a+b)+a ∙ b = (x+a)(x+b)
5. Ecuatii de gradul I cu doua necunoscute
- forma generala a unei ecuatii de gradul I cu doua necunoscute este ax+by+c = 0
- o ecuatie de gradul I cu doua necunoscute are o infinitate de solutii sub forma perechilor (x; -c-ax /b)
- multimea punctelor din plan care sunt solutiile unei ecuatii de gradul I cu doua necunoscute formeaza o dreapta numita dreapta solutiilor ecuatiei

   Sisteme de ecuatii
- forma generala a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute este :
ax+by = c unde a, b, a`, b` sunt coeficienti si c, c` termeni liberi
a`c+b`y = c`
- se numeste solutie a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute o pereche de forma (x, y)є R×R care verifica ambele ecuatii ale sistemului
- in rezolvarea sistemelor de doua ecuatii cu doua necunoscute se pot intalni urmatoarele situatii:
1. sistemul are o unica solutie
2. sistemul nu are solutii(sistem incompatibil)
3. sistemul are o infinitate de solutii(sistem nedeterminat)

sursa:ipedia.ro