Geometrie - Teoremele geometriei in spatiu
Raportul a doua segmente, masurate cu aceeiasi unitate d emasura,este raportul lungimilor lor
2. Teorema paralelelor echidistante
Daca dreptele paralele d1, d2,...dn(n N, n>3) determina pe o secanta segmente congruente, atunci ele determina pe or ice alta secanta segmente congruente.
3. Teorema lui Thales
O parelele dusa la una dintre laturile uniu triunghi determina pe celelalete doua latur segmente proportionale
4. Reciproca teoremei lui Thales
Daca o dreapta determina pe doua latuiri ale unui triunghi segmente proportionale atunci ea este paralela du o latura a treia a unui triunghi
5. Teorema paralelelor neechidistante
Daca paralelele d1,d2…dn(n>3) determina pe doua secante oricare segmente proportionale6. Teorema bisectoarei
Intr-un triunghi bisectoarea unui unghi determina pe o latura opusa segmente porportionale cu celelalte doua laturi
7. Triunghiuri asemenea
Raportul lungimilor oricaror doua laturi corespondente se numeste raport de asemanare a ceor doua triunghiuri
8. Teorema fundamentala a asemanarii
O paralela la una dintre laturile unui triunghi formeaza cu celelalte doua laturi (sau prelungirile lor) un triunhhi asemena cu cel dat
9.Criterii de asemanare
Cazul unu de asemanare
Doua triunghiuri sunt asemenea daca doua unghiuri respective sunt congruente.
Cazul doi de asemanare
oua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi respective proportionale si unghiurile dintre laturile proportonale sunt congruente.
Cazul trei de asemanare
Doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respective proportiunale
10.Teorema inaltimii
Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimi corespunzatoare ioptenuzei este media geometrica a lungimilor proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Intrun triunghi dreptunghic, lungime inaltimi corespunzatoare ipotenuzei este egala cu catul dintre produsul lungimilor catetelor si lungime ipotenuzei.
11.Teorema catetei
Iintr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica a lungimi proectiei sale pe ipotenuza si a lungimi ipotenuzei
12. Reciproca teoremei catetei
Daca in ABC avem: AD BC, D (BC) si AC =CD CB, atunci m(< BAC)=90.
13.Teroma lui Pitagora
Int-un triunghi dreptunghic, patratul lungimi ipotenuzei este egala cu suma patratelor lungimilor catetelor
14.Reciproca teoremei lu Pitagora
Daca intr_un triunghi suma patratelor lungimilor a doua laturi este egala cu patratul lungimii laturii a traia, arunci triunghiul estedreptunghic.
15.Elemente de trigonometrie
Sinus(sin)
Raportul dintre lungimea catetei opuse unghului de masura a si lungimea ipotenuzei, in oricare dintre triunghiurile multimi A, este constanta (nu depinde de lungimile celor doua laturi)
Cosinus(cos)
Raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului de masura a si lungimea ipotenuzei, in ori care dintre triunghiurile multimii A, este constant
Tangenta(tg)
Raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului de masura a si lungimea catetei alaturate,in ori care dintre multimii A, este constant
Cotangenta(ctg)
Raportul dintre lungmea catetei alaturate unghiului de masura a si lungimea catetei opuse, in oricare dintre triunghiurile multimii A, este constant.
Sin- de 30 = ½
-de 45 = 2/2
-de 60 = 3/2
Cos de-30 = 3/2
-45 = 2/2
-60 = ½
Tg de-30 = 3
-45 = 1
-60 = 3/3
Ctg de-30 = 3
-45 = 1
- 60 = 3/3
SURSA 02
Teorema 1: Daca 2 unghiuri sunt opuse la varf atunci ele sunt congruente.
Teorema 2: Suma masurilor unghiurilor formate in jurul unui punct este de 360 de grade.
Teorema 3: (proprietatea medianelor unui triunghi).
Cele 3 mediane ale unui triunghi se intersecteaza intr-un singur punct notat a€œGa€, numit centrul de greutate al triunghiului. Acesta este situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza. Teorema 4: (proprietatea inaltimilor unui triunghi). Cel 3 inaltimi ale unui triunghi se intersecteaza intr-un singur punct notat a€œHa€, numit ortocentrul triunghiului.
Teorema 5: (proprietatea bisectoarelor unui triunghi).
Cele 3 bisectoare ale unui triunghi se intersecteaza intr-un singur punct notat a€œ I a€, care este centrul cercului inscris in triunghi.
Teorema 6: (proprietatea mediatoarelor unui triunghi).
Mediatoarele laturilor unui triunghi se intersecteaza intr-un punct notat a€œOa€, care este centrul cercului circumscris in triunghi.
Teorema 7: (proprietatile triunghiului isoscel).
a). Daca un triunghi este isoscel atunci are unghiurile alaturate bazei congruente.
b). Dca un triunghi este echilateral atunci mediana, inaltimea, bisectoarea si mediatoarea corespunzatoare aceleeasi laturi coincid.
Teorema 8: (reciproca primei proprietati a triunghiului isoscel).
Daca intr-un triunghi unghiurile alaturate bazei sunt congruente atunci triunghiul este isoscel.
Teorema 9: (proprietatile triunghiului echilateral).
a). Daca un triunghi este echilateral atunci are toate unghiurile congruente.
b). Daca un triunghi este echilateral atunci mediana, inaltimea, bisectoarea si mediatoarea aceleeasi laturi coincid.
Teorema 10: (reciproca primei proprietati a triungiului echilateral).
Daca toate unghiurile unui triunghi sunt congruente atunci triunghiul este echilateral.
Teorema 11: (prima proprietate a unghiului exterior).
Masura unui unghi exterior al unui triunghi, este mai mare decat masura oricarui unghi al triunghiului neadiacent lui.
Teorema 12: (prima inegalitate intre elementele triunghiului).
Intr-un triunghi unei laturi mai mare i se opune un unghi mai mare.
Teorema 13: (a doua inegalitate intre elementele triunghiului).
In orice triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma celorlalte 2 laturi.
Teorema 14: (criterii de paralelism).
a). Daca 2 drepte formeaza cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
b). Daca 2 drepte formeaza cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.
c). Daca 2 drepte formeaza cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente congruente atunci dreptele sunt paralele.
d). Daca 2 drepte formeaza cu o secanta o pereche de unghiuri interne de aceeasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
e). Daca 2 drepte formeaza cu o secanta o pereche de unghiuri externe de aceeasi parte a secantei suplementare atunci dreptele sunt paralele.
Teorema 15: (teorema dreptelor paralele taiate de o secanta).
Daca 2 drepte sunt paralele atunci ele formeaza cu o secanta perechi de unghiuri alterne interne, alterne externe,corespondente congruente si perechi de unghiuri interne si externe de aceeasi parte a secantei suplementare.
Teorema 16: (suma masurilor unghiurilor unui triunghi).
Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este egala cu 180 de grade.
Teorema 17: (a doua proprietate a unghiului exterior).
Masura unghiului exterior al unui triunghi este egala cu suma masurilor unghiurilor neadiacente lui.
Teorema 18: (proprietatea bisectoarei).
Un punct apartine bisectoarei unui unghi daca si numai daca distantele de la acesta la laturile unghiului sunt congruente.
Teorema 19: (proprietatea mediatoarei).
Un punct apartine mediatoarei unui segment daca si numai daca distantele de la acesta la capetele segmentului sunt egale.
Teorema 20: (teorema unghiului de 30 de grade); (30-60-90)
Intr-un triunghi dreptunghic cateta opusa unghiului de 30 de grade are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei.
Teorema 21: (proprietatea medianei corespunzatoare ipotenuzei)
Intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.
Teorema 22: (reciproca teoremei 21).
Daca intr-un triunghi lungimea unei mediane este egala cu jumatate din lungimea laturii corespunzatoare acesteia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Teorema 23: (suma masurilor unghiurilor patrulaterului convex)
Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360 de grade.
Teorema 24: (conditii necesare ale paralelogramului)
a). Daca un patrulater convex este paralelogram atunci laturile opuse sunt congruente
b). Daca un patrulater convex este paralelogram atunci unchiurile opuse sunt congruente.
c) Daca un patrulater convex este paralelogram atunci punctul de intersectie al diagonalelor este mijlocul fiecarei diagonale.
Teorema 25: (conditii suficiente ale paralelogramului)
a). Daca un patrulater convex are laturile opuse congruente atunci el este paralelogram.
b). Daca un patrulater convex are2 laturi opuse paralele si congruente aunci el este paralelogram.
c). Daca un patrulater convex are unghiurile opuse congruente, atunci el este paralelogram
d). Daca punctul de intersectie al diagonalelor unui patrulater convex este mijlocul fiecarei diagonale atunci el este paralelogram.
Teorema 26: (proprietatile liniei mijlocii a triunghiului)
Linia mijlocie a unui triunghi(determinata de mijloacele a 2 laturi) este paralela cu cea de-a treia latura a triunghiului si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.
Teorema 27: (conditie suficienta pentru linia mijlocie)
O paralela la una din laturile unui triunghiconstruita prin mijlocul altei laturi intersecteaza cea de-a treia latura in mijloc.
Teorema 28: (proprietatile dreptunghiului)
a). Dreptunghiul are toate proprietatiile paralelogramului.
b). Dreptunghiul are toate unghiurile drepte.
c). Dreptunghiul are diagonalele congruente.
Teorema 29: (proprietatile rombului)
a). Rombul are toate proprietatiile paralelogramului.
b). Rombul are toate laturile congruente.
c). Ronbul are digonalele congruente.
d). Diagonalele rombului sunt bisectoarele unghiurilor prin varful carora trec.
Teorema 30: (proprietatile patratului)
Patratul are toate proprietatiile paralelogramului, rombului si dreptunghiului.
Teorema 31: (prima conditie necesara si suficienta a trapezului isoscel)
Un trapez este isoscel daca si numai daca unghiurile alaturate aceleasi bazesunt congruente
Teorema 32: (a doua conditie necesara si suficienta a trapezului isoscel)
Un trapez este isoscel dca si numai daca are diagonalele congruente.
Teorema 33: (proprietatile liniei mijlocii a triunghiului)
Linia mijlocie a unui trapez este paralela cu bazele trapezului si are lungimea egala cu jumatate din suma bazelor.
SURSA 03
Prin doua puncte dinstincte trece o singura dreapta, iar printr-un punct trec o infinitate de drepte. Segmentul este portiunea dintr-o drepta cuprinsa intre doua puncte .
Lungimea unui segment este un numar pozitiv care arata de cateori se cuprinde in el un alt segment luat ca unitate de masura.
Distanta dintre punct este lungimea segmentului respective.
Doua segmente se numesc congruente daca au aceiasi masura.
Doua figure sunt congruente daca prin suprapunere coincide.
Mijlocul unui segment este punctual de pe segment ce imparte segmental in doua segmente congruente.
Un unghi alungit =180 de grade
Un unghi nul =0 grade
Se numeste unghiuri congruent ,unghiurile de masuri egale.
Un unghi ascutit =unghi <90 de grade
Un unghi drept = unghi=90 de grade
Un unghi optuz = unghi >90 de grade
Unghiurile adiacente au varful comun , o latura comuna si laturele necomune de oparte si de alta a laturii commune.
Bisectoarea interioara a unui unghi propriu inseamna o semidreapta interioara a unghiului cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente.
Doua unghiuri se numesc suplimentare daca suma masurilor lor este 180 de grade.
Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este 90 de grade.
Unghiurile opuse la varf au varful comun iar latura unuia in prelungirea celuilalt.
Suma masurilor unghiului cu varful intr-un punct a unei drepte si de aceeasi parte a dreptei este de 180 de grade.
Mediana intr-un triunghi este segmenul pe dreapta determinate de varful unei laturi si mijlocul laturei opuse.
La triunghiul echilateral cele trei mediane coincid cu cele trei bisectoare.
Cazurile de congruenta ale triunghiurilor oarecare reduce numarul de conditii de la 6 la 3 suficiente pentru a arata ca doua triunghiuri sunt congruente.
In general cand avem de demonstrat ca doua segmente sau doua unghiuri sunt cogruente , le incadram in doua tringhiuri despre care vom arata casunt congruente cu ajutorul cazurilor de congruenta (LUL , LLL , ULU ). Atunci conform definitiei triunghiurilor congruente vom deduce ca si elementele noastre sunt congruente.
Linia mijlocie in triunghi este segmentum de dreapta ce uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului .
Daca intr-un triunghi avem o linie mijlocie atunci ea este paralela cu a treia latura.
Intr-un triunghi linia mijlocie este egala cu a doua latura . Masura liniei mijlocie este egala cu jumatatea liniei a treia.
Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180 .
Masura unui unghi exterior al unui triunghi este egala cu suma unghiurilor interioare nealaturate lui .
Intr-un triunghi inaltimile sunt congruente.
Aria unui triunghi este jumatate din produsul oricarei laturi si a inaltimii corespunzatoare.
Intr-un tringhi dreptunghic cateta opusa unghiului de 30 este jumatate din ipotenuza.
In orice triunghi fiecare latura este mai mica decat suma celorlalte doua si mai mare decat diferenta lor.
Intr-un triunghi latura mai mare se opune unghiului mai mare.
Intr-un patrulater convex suma masurilor unghiurilor este de 360.
Triunghiul cu latura de 60 se numeste triunghi echilateral.
Se numeste paralelogram patrulaterul convex cu laturele opuse paralele.
Intr-un paralelogram laturele opuse sunt congruente.
Intr-un peralelogram unghiurile opuse sunt congruente.
Daca intr-un patrulater convex doua laturi opuse sunt paralele si congruente atunci el este parallelogram.
Intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc.
Intr-un paralelogram unghiurile alaturate fiecarei laturi sunt suplimentare .
Se numeste dreptunghi un paralelogram cu unghiurile drepte.
Intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente.
Intr-un triunghi dreptunghic mediana referitoare la ipotenuza are ca masura jumatate din masura ipotenuzei.
Rombul este un paralelogram cu doua laturi congruente.
Intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare
Intr-un romb diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor opuse.
Este patrat rombul cu un unghi drept .
Este patrat dreptunghiul cu doua laturi alaturate congr.
Trapezul este patrulaterul convex cu doua laturi opuse paralele, iar celalalte neparalele.
Trapesul cu un unghi drept se numeste trapez dreptunghic.
Se numeste trapez isoscel un trapez cu laturile neparalele congruent.
Intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate unei baze sunt congr.
Intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.
Intersectua –inaltimilor => ortocentru
-medianelor =>cercul de greutate
-mediatoarelor => centrul cercului circumscris tr.
- bisectoarelor => centrul cercului inscris tr.
Daca simetrica unei figure fata de o drepta coincide cu figura atunci spunem ca dreapta respective este axa de simetrie .
Pentru un tr echilateral orice linie importanta referitoare la o latura este axa de simetrie.
Daca simetrica unei figuri fata de un ounct coincide cufigura atunci acel punct se numeste centrul de simetrie.
Paralelogramul, dreptunghiul, rombul si patratul are centrul de simetrie intersectia diagonalelor.Trapezul isoscel are ca axa de simetrie dreptele determinate de mijloacele bazelor.
Linia mijlocie intr-un trapez este segmental de dreapta ce uneste mijloacele laturilor neparalele.
Intr-un trapez linia mijlocie este paralele cu baza trapezului.
Intr-un trapez linia mijlocie este jumatate din suma laturilor paralele .
Aria – patratului = ll
- dreptunghiului = ab
- trapezului = baza ori inaltimea
- rombului = produsul diagonalelor supra doi
Perimetrul – patratului = 4l
- dreptunghiului = 2(a+b)
- trapezului = de doua ori baza +de doua ori o lat nepar.
- Rombului = 4l
Raportul a doua segmente este raportul masurilor lor.
Patru segmente se numesc proportionale daca cu masura lor se poate forma o proportie.
Trei sau mai multe paralele se numesc echidistante daca au aceeasi distanta intre ele.
Daca o secanta determina pe trei sau mai multe paralele segmente congruente atunci determina segmente congruente pe orice alta secanta.
Teorema lui Thales:O paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celalalte doua laturi segmente omoloage proportionale.Reciproca: Daca o dreapta pe laturile unui triunghi segmente omoloage proportionale atunci ea este paralela cu a treia latura.In sir de rapoarte egale suma numaratorilor pe suma numitorilor ne da un raport egal cu fiecare imparte.Triunghiuri asemenea:Def: Doua triunghiuri sunt asemenea daca unghiurile celor doua tringhiuri sunt congrente. Cazul 1: Daca doua triunghiuri au doua unghiuri respective congruente, atunci ele sunt asemenea.Cazul 2: Daca un triunghi are un unghi respective congruent cu unghiul unui alt tringhi si laturile care formeaza cele doua unghiuri sunt respective proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemeneaCazul 3: Daca doua triunghiuri au laturile respective proportionale , atunci ele sunt asemenea.
O paralela la una din laturile unui triunghi determina impreuna cu celalalte doua un triunghi asemenea cu primul.
Intr-un triunghi dreptunghic patratele masurii inaltimii referitoare la ipotenuza este egal cu produsul segmentelor determinate de ea pe ipotenuza.
Intr-un trapez dreptunghic patraul lungimii unei catete este egala cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei catetei pe ipotenuza.
Teorema lui Pitagora: Intr-un trapez dreptunghic patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor.
Numerele care sadisfac teorema lui Pitagora se mai numesc numere pitagorice (3,4,5).
Teorema reciproca a lui Pitagora: Daca intr-un triunghi patratul unei laturi este egal cu suma patratelor celorlalte doua laturi atunci triunghiul este dreptunghic.
Aria triunghilor dreptunghice este egsla cu produsul catetelor sura 2 sau ipotenuza ori inaltimea supra 2.
Formula lui Heron , pentru aflarea ariei unui triunghi cand cunoastem masurile laturilor sale:p=a+b+c supra doi . A ria este egala cu radical din p(p-a)(p-b)(p-c)
Intr-un triunghi dreptunghic avem teoremele :
1. Teorema inaltimii
2. Teorema catetei
3.Teorema lui Pitagora
4. Mediana referitoare la ipotenuza
5. Cateta opusa unghiului de 30 de grade.
sursa:ipedia.ro
0 comments: