Geometrie - Teoreme si Definitii matematice

  Linii importante in triunghi
* mediatoarea - perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe mediatoare este egal departat de capetele segmentului, punctul de intersectie al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului, se noteaza cu O
* bisectoarea - dreapta care imparte unghiul in doua parti congruente, orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului, punctul de intersectie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului inscris triunghiului, se noteaza cu I. Teorema bisectoarei: intr-un triunghi oarecare bisectoarea imparte latura pe care cade intr-un raport egal cu raportul laturilor.
* mediana - segmentul care uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii opuse, punctul de intersectie al medianelor se afla la o treime de baza si doua treimi de varf, se numeste centru de greutate al triunghiului si se noteaza cu G.
* inaltimea - perpendiculara din varf pe latura opusa, punctul de intersectie al inaltimilorlor intr-un triunghi se numeste ortocentru sau centrul drept al triunghiului, se noteaza cu H.
* linia mijlocie – segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului. Linia mijlocie a unui triunghi este paralela cu cea de a treia latura a triunghiului si jumatate din ea.
   Cazuri de congruenta ale triunghiurilor oarecare:
* cazul I- L.U.L. (doua triunghiuri oarecare care au cate doua laturi si unghiurile cuprinse intre ele respectiv congruente, sunt congruente);
* cazul II- U.L.U. (doua triunghiuri oarecare care au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente sunt congruente);
* cazul III- L.L.L. (doua triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente)
Cazurile de asemanare ale triunghiurilor oarecare:
* cazul I - U.U (doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua unghiuri respectiv congruente);
* cazul II- L.U.L. (doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi respectiv proportionale si unghiurile dintre laturile proportionale sunt congruente);
* cazul III- L.L.L. (doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respectiv proportionale).
   Triunghiul oarecare: ∆ABC
   Teoreme:
* teorema lui Thales: o paralela dusa la una din laturile unui triunghi, imparte celelalte doua laturi in parti proportionale;
* teorema fundamentala a asemanarii: o paralela dusa la o latura a unui triunghi formeaza cu celelalte doua, un triunghi asemenea cu primul.
∆ABC ~∆AMN
   Triunghiul isoscel: ∆ABC; AB= AC
   Proprietati:
* unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt congruente;
* intr-un triunghi isoscel inaltimea din varf este mediana, bisectoare, mediatoare si axa de simetrie.
   Triunghiul echilateral: ∆ABC; AB= AC= BC
   Proprietati:
* toate unghiurile sunt congruente si au 600;
* orice inaltime este mediana, bisectoare, mediatoare si axa de simetrie.
Triunghiul dreptunghic: ∆DEF; un unghi = 900
   Cazurile de congruenta:
* cazul I- C.C. (daca doua triunghiuri drepunghice au catetele respectiv congruente, atunci ele sunt congruente);
* cazul II- C.U. (daca doua triunghiuri dreptunghice au o cateta si un unghi ascutit la fel asezat fata de cateta, respectiv congruente, atunci ele sunt congruente);
* cazul III- I.U.( daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuza si un unghi, diferit de unghiul drept, respectiv congruente, atunci sunt congruente);
* cazul IV- I.C. (daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuza si o cateta respectiv congruente, atunci ele sunt congruente).
   Teoreme:
* intr-un triunghi drepunghic cateta care se opune unghiului de 300 este jumatate din ipotenuza;
* intr-un triunghi drepunghic mediana din varful unghiului drept este jumatate din ipotenuza;
* teorema inaltimii- intr-un triunghi drepunghic inaltimea este media proportionala intre segmentele determinate de ea pe ipotenuza;
* teorema catetei- intr-un triunghi drepunghic o cateta este medie proportionala intre proiectia sa pe ipotenuza si ipotenuza;
* teorema lui Pitagora- intr-un triunghi drepunghic patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor.
   Patrulatere- poligoane cu patru laturi.
   Clasificare:
* convex;
* concav;
* incrucisat;
particulare: paralelogram, romb, dreptunghi, patrat.
   Paralelogramul: patrulaterul cu laturile opuse paralele doua cate doua.
   Proprietati:
* intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alaturate sunt suplimentare;
* intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua;
* intr-un paralelogram diagonalele se impart in parti congruente.
   Reciproca:
* daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alaturate suplimentare, atunci patrulaterul este un paralelogram;
* daca intr-un patrulater laturile opuse sunt congruente doua cate doua, atunci patrulaterul este un paralelogram;
* daca intr-un patrulater doua laturi opuse sunt paralele si congruente, atunci patrulaterul este un paralelogram;
* daca intr-un patrulater diagonalele se impart in parti congruente, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Aria: AB· DQ= baza x h
   Dreptunghiul: paralelogramul cu un unghi drept.
   Proprietati:
* toate proprietatiile paralelogramului sunt adevarate;
* intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente;
* dreptunghiul are doua axe de simetrie.
Aria: AB·AD= baza x inaltimea=lungimea x latimea
   Rombul : paralelogramul cu doua laturi alaturate congruente.
   Proprietati:
* toate proprietatiile paralelogramului sunt adevarate;
* intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare si sunt bisectoarele unghiurilor rombului;
* diagonalele rombului sunt axe de simetrie.
   Patratul: este derptunghiul cu doua laturi alaturate congruente sau rombul cu un unghi drept.
   Proprietati:
* toate proprietatiile paralelogramului, rombului si dreptunghiului;
* patratul are patru axe de simetrie.
   Trapezul: patrulaterul cu doua laturi opuse paralele si doua neparalele
   Clasificare:
* oarecare;
* dreptunghic (are un unghi de 900);
* isoscel (laturile neparalele congruente).
   Proprietati:
* linia mijlocie- segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale trapezului. Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele si este egala cu semisuma bazelor.
   Trapezul isoscel:
   Proprietati:
* intr-un trapez isoscel unghiurile de la baza sunt congruente;
* intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente. 

   SURSA 02
 
Doua puncte sunt concurente daca au un singur punct comun.
Doua drepte sunt paralele daca nu au nici un punct comun.
Doua drepte sunt oarecare (necoplanare) daca sunt situate in plane diferite si nu au nici un punct comun.
Semidreapta este multimea punctelor distincte de pe o dreapta situate de aceasi parte a unui punct fix numit origine.
Semidreaptele identice au toate punctele commune inclusive originea.
Semidreaptele identicepot fi scrise ambele deschise sau ambele inchise.
In notatiile pt. semidrepte tinem cont de (semidreptele deschise si [ semidreptele inchise.
Prima litera dupa paranteza reprezinta originea semidreptei.
A doua litera a notatiei indica directia in care este marginita semidreapta.
Semidreptele opuse sunt situate pe aceasi dreapta si au un singur punct comun , originea.
Segmentul de dreapta este portiunea de dreapta cuprinsa intre doua puncte distincteale dreptei.
Lungimea unui segment este un nr. pozitiv care ne arata de cate ori se cuprinde un alt segmentnumit unitate in segmental dat.
Doua segmente pot avea aceasi lungime sau lunigimi diferite.
Lungimile a doua segmente ne ajuta sa comparam doua segmente folosind aceasi unitate de masura.
Doua segmente sunt congruente daca au aceasi lungime, fiind masurate cu aceasi unitate de masura.
Mijlocul unui segment este un punct situate in interiorul segmentului care formeaza cu capetele segmentuuli dat, doua segmente congruente.
Semiplanul este portiunea dintr-un plan situata de aceasi parte a planului.
Semiplanul deschis nu contine punctele dreptei.
Semiplanul inchis contine si punctele dreptei.
Daca prin doua puncte distinct trece o singura dreapta, atunci ele sunt coliniare.
Daca prin 4 puncte putem duce exact 4 drepte, atunci 3 dintre ele sunt coliniare.
Daca prin 4 puncte distincte trec 6 drepte, atunci oricare ar fi 3 dintre ele sunt necoliniare.
4 puncte distincte doua cate doua necoliniare determina o dreapta sau 4 drepte sau 6 drepte.
Pt. a aduna/scadea lungimeaa doua segmentele masuram cu aceasi unitate de masura.
Unghiul este o figura goemetrica formata din doua semidrepte care au aceasi origine.
Cele doua semidrepte se numesc laturile unghiului.
Originea comuna se numeste varful unghiului.
Unghiul nul este format din doua semidrepte identic.
Unghiul alungit este format din doua semidrepte opuse. 

Prin doua puncte dinstincte trece o singura dreapta, iar printr-un punct trec o infinitate de drepte. Segmentul este portiunea dintr-o drepta cuprinsa intre doua puncte. Lungimea unui segment este un numar pozitiv care arata de cateori se cuprinde in el un alt segment luat ca unitate de masura.
Doua unghiuri se numesc suplimentare daca suma masurilor lor este 180 de grade. Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este 90 de grade. Unghiurile opuse la varf au varful comun iar latura unuia in prelungirea celuilalt. Suma masurilor unghiului cu varful intr-un punct a unei drepte si de aceeasi parte a dreptei este de 180 de grade.
Mediana intr-un triunghi este segmenul pe dreapta determinate de varful unei laturi si mijlocul laturei opuse. La triunghiul echilateral cele trei mediane coincid cu cele trei bisectoare. Cazurile de congruenta ale triunghiurilor oarecare reduce numarul de conditii de la 6 la 3 suficiente pentru a arata ca doua triunghiuri sunt congruente.
In general cand avem de demonstrat ca doua segmente sau doua unghiuri sunt cogruente, le incadram in doua tringhiuri despre care vom arata ca sunt congruente cu ajutorul cazurilor de congruenta (LUL, LLL, ULU). Atunci conform definitiei triunghiurilor congruente vom deduce ca si elementele noastre sunt congruente. Linia mijlocie in triunghi este segmentu de dreapta ce uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului.
Daca intr-un triunghi avem o linie mijlocie atunci ea este paralela cu a treia latura. Intr-un triunghi linia mijlocie este egala cu a doua latura. Masura liniei mijlocie este egala cu jumatatea liniei a treia. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180. Masura unui unghi exterior al unui triunghi este egala cu suma unghiurilor interioare nealaturate lui. Intr-un triunghi inaltimile sunt congruente.
Aria unui triunghi este jumatate din produsul oricarei laturi si a inaltimii corespunzatoare. Intr-un tringhi dreptunghic cateta opusa unghiului de 30 este jumatate din ipotenuza. In orice triunghi fiecare latura este mai mica decat suma celorlalte doua si mai mare decat diferenta lor. Intr-un triunghi latura mai mare se opune unghiului mai mare. Intr-un patrulater convex suma masurilor unghiurilor este de 360.
Triunghiul cu latura de 60 se numeste triunghi echilateral. Se numeste paralelogram patrulaterul convex cu laturele opuse paralele. Intr-un paralelogram laturele opuse sunt congruente. Intr-un peralelogram unghiurile opuse sunt congruente. Daca intr-un patrulater convex doua laturi opuse sunt paralele si congruente atunci el este paralelogram.
Intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc. Intr-un paralelogram unghiurile alaturate fiecarei laturi sunt suplimentare. Se numeste dreptunghi un paralelogram cu unghiurile drepte. Intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente. Intr-un triunghi dreptunghic mediana referitoare la ipotenuza are ca masura jumatate din masura ipotenuzei.
Rombul este un paralelogram cu doua laturi congruente. Intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare Intr-un romb diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor opuse. Este patrat rombul cu un unghi drept. Este patrat dreptunghiul cu doua laturi alaturate congr. Trapezul este patrulaterul convex cu doua laturi opuse paralele, iar celalalte neparalele.

sursa:ipedia.ro